Y una opinión para acabar. Antes de la radio, la televisión y el cine, los músicos, los atletas, etcétera, podían hacerse un público local de leales, pues eran lo mejor que la mayoría de esas personas iba a ver en su vida. Los públicos de ahora nunca quedan satisfechos de las figuras locales, ni siquiera en las zonas rurales, y exigen talentos de primera línea. Se puede decir en este sentido que, con los grandes medios de comunicación, los públicos han salido ganando, y los artistas perdiendo.
Valores esperados: de los análisis de sangre al juego del
chuck-a-luck
Aunque lo más llamativo sean los valores extremos y las coincidencias, lo que suele proporcionar más información son los valores medios o los valores «esperados». El valor esperado de una cantidad es la media de los valores que toma, pesados según sus probabilidades respectivas. Por ejemplo, si 1/4 de las veces la cantidad vale 2, 1/3 vale 6, otro 1/3 de las veces vale 15 y el 1/12 restante vale 54, el valor esperado de dicha magnitud es 12. En efecto, 12 = (2 × 1/4) + (6 × 1/3) + (15 × 1/3) + (54 × 1/12).
Consideremos a modo de ilustración el caso de una compañía de seguros domésticos. Supongamos que tiene motivos para pensar que, en promedio, cada año una de cada 10.000 pólizas terminará en una reclamación de 200.000 dólares; una de cada mil, en una reclamación de 50.000 dólares; una de cada cincuenta, en una reclamación de 2.000 dólares, y que el resto no dará lugar a reclamación, esto es, 0 dólares.
A la compañía de seguros le interesaría saber cuál es el gasto medio por cada póliza suscrita. La respuesta nos la da el valor esperado, que en este caso es (200.000 × 1/10.000) + (50.000 × 1/1.000) + (2.000 × 1/50) + (0 × 9.789/10.000) = 20 + 50 + 40 + 0 = 110 dólares.
El premio esperado de una máquina tragaperras se calcula de modo análogo. Se multiplica cada premio por la probabilidad de que salga y se suman todos los productos para obtener el valor medio o premio esperado. Por ejemplo, si sacar cerezas en los tres marcadores se paga a 80 dólares y la probabilidad de que esto ocurra es de (1/20)
3
(supongamos que hay veinte figuras distintas en cada marcador y que sólo una de ellas es una cereza), multiplicaremos los 80 dólares por (1/20)
3
y sumaremos el resultado a los productos análogos obtenidos con los otros premios y sus respectivas probabilidades (consideraremos que una pérdida es un premio negativo).
Y un ejemplo que no es ni mucho menos tan baladí. Consideremos una clínica que analiza sangre en busca de una enfermedad que se sabe afecta a una persona de cada cien. Los pacientes acuden a la clínica en grupos de cincuenta y el director se pregunta si en vez de analizar la sangre de cada uno por separado no le saldría más a cuenta mezclar las cincuenta muestras y analizar el conjunto. Si la muestra total da negativo, podría declarar sanos a los cincuenta, y en caso contrario habría de analizar la sangre de cada miembro del grupo por separado. ¿Cuál es el número esperado de análisis que habría que realizar en caso que se decidiera adoptar este procedimiento?
El director habrá de realizar o bien un análisis (si la muestra mezcla da negativo) o cincuenta y uno (si da positivo). La probabilidad de que una persona esté sana es 99/100, y por tanto la probabilidad de que lo estén las cincuenta que componen el grupo es (99/100)
50
. Así pues, la probabilidad de que haya de realizar un solo análisis es (99/100)
50
. Por otra parte, la probabilidad de que por lo menos una persona padezca la enfermedad es la probabilidad complementaria [1 - (99/100)
50
], y ésta es también la probabilidad de que haya que realizar cincuenta y un análisis. Por tanto, el número esperado de análisis necesarios es (1 análisis × (99/100)
50
) + (51 análisis × [1-(99/100)
50
]) = aproximadamente 21 análisis.
Si el número de personas que ha de pasar el análisis de sangre es grande, será una sabia decisión por parte del director tomar una parte de cada muestra, mezclarla y analizar primero la muestra mezcla. Y si hace falta, analizará luego por separado los restos de las cincuenta muestras. En promedio, este procedimiento hará que basten veintiún análisis por cada cincuenta personas.
Entender bien el significado del valor esperado es útil en el análisis de la mayoría de juegos de casino, así como del no tan conocido juego del
chuck-a-luck
, que se juega en los carnavales del Medio Oeste e Inglaterra.
La explicación del
chuck-a-luck
que se da para atraer a la gente puede ser muy persuasiva. El que apuesta elige un número de 1 a 6 y el encargado lanza tres dados. Si el número elegido sale en los tres dados, el jugador cobra 3 dólares; si sale en dos de los dados, cobra 2 dólares y si sale en uno de los tres dados, sólo cobra 1 dólar. Únicamente en el caso de que el número escogido no salga en ninguno de los dados tendrá que pagar el jugador, y sólo 1 dólar. Con tres dados distintos, el apostador tiene tres posibilidades a su favor; además, a veces gana más de 1 dólar, que es lo máximo que puede perder cada vez.
Como diría Joan Rivers: «¿Podemos calcularlo?». (Si no tienes muchas ganas de calcular, sáltate lo que queda hasta el final de la sección.) Está claro que la probabilidad de ganar es independiente del número escogido. Así pues, para concretar, supongamos que el jugador elige siempre el número 4. Como los dados son independientes, la probabilidad de que salga 4 en los tres dados es 1/6 × 1/6 × 1/6 = 1/216. Por tanto, aproximadamente 1/216 de las veces el jugador ganará 3 dólares.
La probabilidad de que salga 4 en dos de los dados es un poco más difícil de calcular, a no ser que se use la distribución binomial de probabilidad de la que hablamos en el Capítulo 1, y que volveré a deducir en el contexto que nos ocupa. Que salga un 4 en dos de los tres dados puede ocurrir de tres maneras distintas y mutuamente excluyentes: X44, 4X4 ó 44X, donde la X significa «no 4». La probabilidad del primero es 5/6 × 1/6 × 1/6 = 5/216. El mismo resultado vale para los otros dos modos restantes. La suma, 15/216, nos da la probabilidad de que salga 4 en dos de los tres dados, la cual nos da a su vez la probabilidad de que el apostador gane 2 dólares.
La probabilidad de sacar un 4 entre los tres dados se calcula de modo análogo, descomponiendo el suceso en los tres modos mutuamente excluyentes en los que éste puede ocurrir. La probabilidad de que salga 4XX es 1/6 × 5/6 × 5/6 = 25/216, y ésta es también la probabilidad de que salga X4X ó XX4. Sumándolas nos da 75/216 como probabilidad de sacar exactamente un 4 entre los tres dados, esto es, la probabilidad de ganar 1 dólar. Para hallar la probabilidad de que al tirar los dados no salga ningún cuatro, buscamos cuánta probabilidad queda. Es decir, restamos (1/216 + 15/216 + 75/216) de 1 (ó 100%), y obtenemos 125/216. Por tanto, de cada 216 jugadas al
chuck-a-luck
, el jugador pierde 1 dólar en 125 de ellas.
El valor esperado de las ganancias es pues (3 × 1/216) + (2 × 15/216) + (1 × 75/216) + (-1 × 125/216) = (-17/216) = -0,08 dólares, con lo que, en promedio, el jugador pierde ocho centavos en cada jugada de ese juego tan prometedor.
Eligiendo cónyuge
Hay dos maneras de enfocar el amor: con el corazón y con la cabeza. Por separado, ninguno de los dos da buenos resultados, pero juntos tampoco funcionan demasiado bien. Sin embargo, si se emplean ambos a la vez, quizá las probabilidades de éxito sean mayores. Es muy posible que, al recordar amores pasados, alguien que enfoque sus romances con el corazón se lamente de las oportunidades perdidas y que piense que nunca jamás volverá a amar así. Otra persona más práctica, que se decida por un enfoque más realista, seguramente estará interesada por el siguiente resultado probabilístico.
Nuestro modelo supone que nuestra protagonista a la que llamaremos María tiene buenas razones para pensar que se encontrará con N potenciales cónyuges mientras esté en edad núbil. Para algunas mujeres N pueden ser dos, y para otras, doscientos. La pregunta que se plantea María es: ¿Cuándo habría de aceptar al señor X y renunciar a los otros pretendientes que vinieran después, aunque alguno de estos quizá fuera «mejor» que él? Supondremos que los va conociendo de uno en uno, valora la conveniencia relativa de cada uno de ellos y que, una vez que ha rechazado a uno, lo pierde para siempre.
Para concretar más, supongamos que María ha conocido ya a seis hombres y que los ha clasificado así: 3 5 1 6 2 4. Es decir, de los seis hombres, el primero que conoció ocupa el tercer lugar en el orden de preferencia, el segundo en aparecer ocupa el quinto lugar, prefiere el tercero a todos los demás, etc. Si ahora resulta que el séptimo de los hombres que conoce es mejor que todos los demás excepto su favorito, modificará así la clasificación: 4 6 1 7 3 5 2. Después de cada hombre, María reordena la clasificación relativa de sus pretendientes y se pregunta qué regla habría de seguir para maximizar la probabilidad de escoger al mejor de los N pretendientes que espera tener.
En la obtención del mejor sistema se emplea la idea de probabilidad condicional (que presentaremos en el próximo capítulo) y también hay que calcular un poco. El sistema en sí, no obstante, se describe muy fácilmente. Diremos que un pretendiente es un novio si es mejor que todos los candidatos anteriores. María debería rechazar aproximadamente el primer 37% de los candidatos que probablemente vaya a conocer y luego aceptar al primer novio que le salga de entre los pretendientes posteriores (si es que le sale alguno, claro).
Supongamos, por ejemplo, que María no es demasiado atractiva y que probablemente sólo espera encontrarse con cuatro pretendientes. Supongamos además que éstos pueden llegar en cualquiera de las veinticuatro ordenaciones posibles (24 = 4 × 3 × 2 × 1).
Como el 37% está entre el 25% y el 50%, en este caso el sistema es un tanto ambiguo, pero las dos mejores estrategias son las siguientes: A) dejar pasar al primer candidato (el 25% de N = 4) y aceptar al primer novio que llegue después, y B) dejar pasar a los dos primeros candidatos (el 50% de N = 4) y aceptar al primer novio que venga luego. Si sigue el sistema A, María elegirá al mejor pretendiente en once de los veinticuatro casos, mientras que si sigue la estrategia B, acertará en diez de los veinticuatro casos.
A continuación mostramos una lista de los veinticuatro, casos posibles de este ejemplo. En cada secuencia el número 1 representa el pretendiente que María preferiría, el número 2 el que elegiría en segundo lugar, etc. De modo que la ordenación 3 2 1 4 indica que primero se encuentra el tercero en orden de preferencia, luego el segundo, después su preferido y finalmente el que menos le gusta de todos. Cada ordenación está indicada con una A o una B para distinguir aquellos casos en los que estas estrategias tendrían éxito y la llevarían a elegir a su preferido.
1234 - 1243 - 1324 - 1342 - 1423 - 1432 -
2134(A) - 2143(A) - 2314 (A,B) - 2341(A,B) - 2413(A,B) - 2431(A,B) -
3124(A) - 3142(A) - 3214(B) - 3241(B) - 3412(A,B) - 3421 -
4123(A) - 4132(A) - 4213(B) - 4231(B) - 4312(B) - 4321
Si María es muy atractiva y puede pensar que tendrá veinticinco pretendientes, su mejor estrategia sería también rechazar a los nueve primeros (el 37% de 25) y quedarse con el primer novio que conozca después. Podríamos comprobarlo también directamente, tabulando como antes todos los casos posibles, pero la tabla resultante sería inmanejable y más vale aceptar la demostración general. (Huelga decir que vale el mismo análisis si la persona que busca cónyuge es un Juan en vez de una María).
Para grandes valores de N, la probabilidad de que aplicando esta regla del 37% María encuentre a su hombre ideal, es también aproximadamente del 37%. Luego viene lo más difícil: vivir con el hombre ideal. Hay otras variantes de este mismo modelo que incluyen otros condicionantes, razonables desde el punto de vista romántico.
Las coincidencias y la ley
En 1964 una mujer rubia peinada con una cola de caballo robó el bolso a otra mujer en Los Angeles. La ladrona huyó a pie, pero posteriormente alguien la reconoció cuando montaba en un coche amarillo conducido por un negro con barba y bigote. Las investigaciones de la policía acabaron por encontrar a una mujer rubia con cola de caballo que regularmente frecuentaba la compañía de un negro de barba y bigote que tenía un coche amarillo. No había ninguna prueba fehaciente que relacionara a la pareja con el delito, ni testigos que pudieran identificar a ninguno de los dos. Se estaba de acuerdo, no obstante, en los hechos citados.
El fiscal basó sus conclusiones en que, como la probabilidad de que tal pareja existiera era tan baja, la investigación de la policía tenía que haber dado con los verdaderos culpables. Asignó las siguientes probabilidades a las características en cuestión: coche amarillo: 1/10; hombre con bigote: 1/4; mujer con cola de caballo: 1/10; mujer rubia: 1/3; hombre negro con barba: 1/10; pareja interracial en un coche: 1/1.000. El fiscal arguyó que como estas características eran independientes, la probabilidad de que todas ellas concurrieran en una pareja elegida al azar había de ser: 1/10 × 1/4 × 1/10 × 1/3 × 1/10 × 1/1.000 = 1/12.000.000, un número tan pequeño que la pareja había de ser culpable. El jurado les condenó.
Los condenados recurrieron ante el Tribunal Supremo de California, que anuló la sentencia sobre la base de otro razonamiento probabilístico. El abogado defensor de la pareja arguyó que 1/12.000.000 no era la probabilidad que había que considerar. En una ciudad de las dimensiones de Los Angeles, con unos 2.000.000 de parejas, no era tan improbable, sostenía, que hubiera más de una que reuniera todas las características mencionadas, dado que ya había por lo menos una pareja: la condenada. Basándose en la distribución binomial de probabilidad y en el 1/12.000.000, se puede calcular dicha probabilidad, que resulta ser de aproximadamente el 8%, que aunque pequeña permite un margen de duda razonable. El Tribunal Supremo de California aceptó la argumentación del abogado y revocó la sentencia anterior.
Independientemente de las dudas que uno pueda tener con respecto a cómo se obtuvo la cifra de 12.000.000, la rareza por sí misma no prueba nada. Cuando le dan a uno una mano de bridge de trece cartas, la probabilidad de que le den precisamente esa mano concreta es menor que una seiscientos mil millonésima. Y a pesar de ello, será absurdo que, después de recoger las trece cartas, esa persona las examine detenidamente, calcule que la probabilidad de tener precisamente esas trece cartas es menor que una seiscientos mil millonésima y concluya que no puede ser que le hayan dado precisamente esa mano porque es muy improbable que esto ocurra.