¿Es Dios un Matemático? (25 page)

El ilustre filósofo alemán Immanuel Kant (1729-1804) no siempre estaba de acuerdo con Hume, pero también elevaba la geometría euclidiana a un estado de certeza absoluta y validez incuestionable. En su inmortal
Crítica de la razón pura,
Kant intentó en cierta forma dar la vuelta a la relación entre la mente y el mundo físico. En lugar de ser la realidad física la que causa impresiones en una mente puramente pasiva, Kant asignó a esta última la función de «construir» o «procesar» el universo percibido. Kant decidió mirar hacia el interior y no preguntar
qué
podemos saber sino
cómo
podemos saber lo que sabemos.
^[174]
Explicaba Kant que, aunque nuestros ojos detectan partículas de luz, éstas no forman una imagen en nuestra consciencia hasta que nuestros cerebros procesan y organizan la información. En este proceso de construcción tenía un papel preponderante la percepción del espacio intuitiva o
sintética
a priori del ser humano, que a su vez consideraba basada en la geometría euclidiana. Kant era de la opinión que la geometría euclidiana ofrecía la
única
vía para procesar y concep-tualizar el espacio, y que esta relación intuitiva y universal con el espacio se hallaba en el núcleo de nuestra experiencia del mundo natural. En sus propias palabras:

El espacio no es un concepto empírico extraído de experiencias externas … El espacio es una representación a priori necesaria, que constituye la misma base de todas las intuiciones externas … Sobre esta necesidad de una representación a priori del espacio reposa la certeza apodíctica de todos los principios geométricos y la posibilidad de su construcción a priori. Porque, si la intuición del espacio fuese un concepto obtenido a posterior, prestado de la experiencia externa general, los principios primeros de la definición matemática no serían más que percepciones y, como tales, estarían expuestos a todos los accidentes de la percepción, y la afirmación «entre dos puntos sólo se puede trazar una línea recta» no sería una necesidad, sino sólo algo que la experiencia dictaría en cada caso.
^[175]

Para simplificar, según Kant, si percibimos un objeto, necesariamente se trata de un objeto espacial y
euclidiano.

Las ideas de Hume y Kant ponen de manifiesto dos aspectos muy distintos, pero de comparable importancia, asociados históricamente con la geometría de Euclides. El primero es la afirmación de que la geometría euclidiana representa la
única
descripción exacta del espacio físico. El segundo es la identificación de la geometría euclidiana con una estructura firme, robusta e infalible. En conjunto, estas dos supuestas propiedades ofrecían a los matemáticos, científicos y filósofos lo que consideraban como la evidencia más sólida de la existencia de verdades reveladoras e inexorables acerca del universo. Hasta el siglo XIX, estas afirmaciones se daban por descontadas. Pero ¿eran realmente ciertas?

Las bases de la geometría euclidiana las estableció el matemático griego Euclides de Alejandría alrededor del año 300 a.C. En una monumental obra de trece volúmenes denominada
Los elementos,
Euclides intentó edificar la geometría sobre una base lógica bien definida. Empezó por establecer diez axiomas de certeza indiscutible y trató de demostrar un inmenso número de proposiciones a partir de esos postulados, a base únicamente de deducciones lógicas.

Los primeros cuatro axiomas de Euclides eran extremadamente simples y de una exquisita concisión.
^[176]
El primer axioma, por ejemplo, decía: «Entre dos puntos se puede trazar una línea recta». El cuarto afirmaba: «Todos los ángulos rectos son iguales». En contraste, el quinto axioma, denominado «postulado de las paralelas», era de formulación más complicada y bastante menos evidente por sí mismo: «Si dos rectas de un plano intersectan una tercera de forma que la suma de los ángulos internos de un lado es menor que dos ángulos rectos, inevitablemente estas rectas se intersecarán si se prolongan lo suficiente por ese lado».

La figura 39 muestra gráficamente el contenido de este axioma. Aunque nadie dudaba de su certeza, esta afirmación carecía de la persuasiva simplicidad de los otros axiomas. Todo parece indicar que ni siquiera el propio Euclides estaba demasiado contento con su quinto postulado; las demostraciones de las primeras veintiocho proposiciones de
Los elementos
no hacen uso de él.
^[177]

La versión equivalente del «Quinto» más citada en la actualidad apareció en primer lugar en los comentarios del matemático griego Proclo en el siglo V d.C, pero se le suele llamar «axioma de Playfair» (por el matemático escocés John Playfair [1748-1819]). Dice: «Dados una recta y un punto exterior a ella, es posible trazar exactamente una recta paralela a la recta dada que pase por ese punto» (véase figura 40).

Las dos versiones del axioma son «equivalentes» en el sentido de que el axioma de Playfair (junto con los demás axiomas) implica necesariamente el Quinto original de Euclides y viceversa.

A lo largo de los siglos, el cada vez mayor descontento con el «Quinto» ha tenido como resultado un número creciente de intentos infructuosos de
demostrarlo
a partir de los otros nueve axiomas o sustituirlo por un postulado más evidente. Con el fracaso de esos intentos, otros geómetras se plantearon dar respuesta a una enigmática pregunta: ¿Y si se demostrase que el quinto axioma es, en realidad, falso? Algunos de estos empeños empezaron a plantear molestas dudas sobre si los axiomas de Euclides eran verdaderamente evidentes o estaban, en realidad, basados en la
experiencia.
^[178]
El veredicto final, un tanto sorprendente, se materializó en el siglo XIX: era posible crear nuevos tipos de geometría con sólo
elegir
un axioma distinto del quinto de Euclides. Es más, ¡estas geometrías «no euclidianas» podrían, en principio, describir el espacio físico con la misma precisión que la geometría euclidiana!

Vamos a hacer una pausa para reflexionar sobre el sentido de la palabra «elegir». Durante milenios, se había considerado que la geometría euclidiana era la única e
inevitable
descripción verdadera del espacio. El hecho de poder elegir los axiomas y obtener una descripción igualmente válida supuso un cambio radical de concepción. El esquema deductivo verdadero y cuidadosamente construido se convirtió de pronto en algo parecido a un juego, en el que los axiomas hacían el papel de reglas. Bastaba con cambiar los axiomas para jugar a un juego distinto. Es difícil hacerse una idea del tremendo impacto de este nuevo punto de vista en la comprensión de la naturaleza de la matemática.

Una serie de matemáticos creativos prepararon el terreno para lanzar el último asalto a la geometría de Euclides. Entre ellos son especialmente dignos de mención el sacerdote jesuita Gerola-mo Saccheri (1667-1733), que investigó las consecuencias de la sustitución del quinto postulado por una afirmación distinta, y los matemáticos alemanes Georg Klügel (1739-1812) y Johann Hein-rich Lambert (1728-1777), que fueron los primeros en darse cuenta de la posibilidad de la existencia de geometrías alternativas a la euclidiana. Pero alguien tuvo que dar el tiro de gracia a la idea de la exclusividad de la geometría euclidiana como representación del espacio. Este honor lo compartieron tres matemáticos: uno ruso, otro húngaro y un tercero alemán.

El primero en publicar un tratado completo sobre un nuevo tipo de geometría —que se podía construir en una superficie con forma de silla de montar (figura 41a)— fue el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856; figura 42).
^[179]

En este tipo de geometría (que en la actualidad se denomina
geometría hiperbólica),
el quinto postulado de Euclides queda sustituido por la afirmación de que, dada una línea en un plano y un punto exterior a esta línea, existen
al menos
dos líneas que pasan por el punto y son paralelas a la línea dada. Otra diferencia crucial entre la geometría de Lobachevsky y la de Euclides es que, mientras en la de este último, los ángulos de un triángulo siempre sumaban 180 grados (figura 41 b), en la del primero la suma es siempre inferior a 180 grados. La aparición de la obra de Lobachevsky en el oscuro
Mensajero de Kazan
pasó casi por completo desapercibida hasta la aparición de sus traducciones en francés y alemán a finales de los años 1830.

El joven matemático húngaro Janos Bolyai (1802-1860),
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desconocedor de la obra de Lobachevsky, formuló una geometría similar durante la década de 1820. Con juvenil entusiasmo, en 1823 escribía a su padre (el matemático Farkas Bolyai; figura 43): «Lo que hallé fue tan magnífico que me dejó estupefacto … He creado un mundo distinto de la nada».

En 1825, Janos estuvo listo para presentar al padre Bolyai el primer borrador de su nueva geometría. El título del manuscrito era
La ciencia del espacio absoluto
.
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A pesar de la euforia del joven, su padre no quedó totalmente convencido de la solidez de las ideas déjanos. Sin embargo, decidió publicar la nueva geometría como apéndice de su tratado de dos volúmenes sobre los fundamentos de la geometría, el álgebra y el análisis (cuyo supuestamente atractivo título era
Ensayo sobre elementos de matemática para jóvenes estudiosos).